Теория чисел, как и многие другие направления математики, над которыми трудилось не одно поколения математиков, имеет много нерешённых актуальных задач. Список наиболее известных задач приведён ниже.
Загадки дружественных чисел:- Существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел?
- Существуют ли взаимно простые дружественные числа?
- Конечно или бесконечно множество дружественных чисел?
- Существует ли общий способ получения дружественных чисел?
Проблемы простых чисел:Близко расположенные друг к другу простые числа, а именно такие, расстояние между которыми равно 2.
Например:
Такие числа называются близнецами. Возникает вопрос, закончится ли когда-нибудь этот ряд пар? Есть гипотеза, что совокупность близнецовых пар бесконечна. Проблема доказательства этой гипотезы близнецов и есть проблема близнецов.
Она заключается в требовании доказать гипотезу Гольдбаха, которая в современном понимании сводится к тому, что каждое число, начиная с шести, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел. Справедливость этого утверждения для небольших чисел может проверить каждый:
Но произвести проверку для всех чисел, как этого требует гипотеза, конечно же, невозможно. Требуется какое-то иное доказательство, чем просто проверка.
Гипотезу о разбиении любого числа на три простых слагаемых часто называют тернарной гипотезой Гольдбаха.
