Занимательные задачи
Tilda Publishing
Диофантовы уравнения первого порядка с двумя неизвестными
Рассмотрим вводные задачи. Это задачи на несложные уравнения, которые решаются в натуральных или целых неотрицательных числах, причем при решении используются отношения делимости, неравенства и метод перебора.
Задача 1. На таможню поступил контейнер весом 3 тонны. В нем ящики по 130 кг и 160 кг.
Сколько ящиков первого и сколько второго вида? Укажите все решения.
Решение.
Обозначим количество ящиков первого вида через x, второго – через y. Получаем уравнение
Попробуем воспользоваться делимостью на 13. Для этого 16y представим в виде 13y + 3y, а 300 разделим на 13 с остатком:
Правая часть последнего уравнения делится на 13, следовательно, и левая его часть должна делиться на 13. Для того чтобы найти значения y, при которых разность 3y - 1 делится на 13, применим перебор. При этом проще не придавать y последовательные значения 1,2,3 и т.д., а приравнять 3y - 1 к числам, делящимся на 13: 13,26,39 и т.д.,
Выясняя каждый раз, является ли корень соответствующего уравнения целым или дробным. Целые корни получаются в следующих случаях:
и др. Но уже значение y = 22 слишком велико, так как в этом случае
При y = 9 из уравнения можно найти x:
Ответ. 12 ящиков по 130 кг и 9 по 160 кг.
Задача 2. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 28, а при делении на 15 дает в остатке 4.
Решение.
Искомое число равно, с одной стороны, 28x, а с другой - 15y + 4, где x и y – натуральные числа. Получаем уравнение
Нам не нужно искать все решения этого уравнения в натуральных числах, а только одно решение – то, для которого значения x и y минимальны. Для этой цели преобразуем уравнение, используя соображения делимости на 15:
откуда
Поскольку нам требуется наименьшее значение x, удовлетворяющее последней делимости, то x + 2 приравниваем к 15:
Ответ. 364.
Задача 1. На таможню поступил контейнер весом 3 тонны. В нем ящики по 130 кг и 160 кг.
Сколько ящиков первого и сколько второго вида? Укажите все решения.
Решение.
Обозначим количество ящиков первого вида через x, второго – через y. Получаем уравнение
Попробуем воспользоваться делимостью на 13. Для этого 16y представим в виде 13y + 3y, а 300 разделим на 13 с остатком:
Правая часть последнего уравнения делится на 13, следовательно, и левая его часть должна делиться на 13. Для того чтобы найти значения y, при которых разность 3y - 1 делится на 13, применим перебор. При этом проще не придавать y последовательные значения 1,2,3 и т.д., а приравнять 3y - 1 к числам, делящимся на 13: 13,26,39 и т.д.,
Выясняя каждый раз, является ли корень соответствующего уравнения целым или дробным. Целые корни получаются в следующих случаях:
и др. Но уже значение y = 22 слишком велико, так как в этом случае
При y = 9 из уравнения можно найти x:
Ответ. 12 ящиков по 130 кг и 9 по 160 кг.
Задача 2. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 28, а при делении на 15 дает в остатке 4.
Решение.
Искомое число равно, с одной стороны, 28x, а с другой - 15y + 4, где x и y – натуральные числа. Получаем уравнение
Нам не нужно искать все решения этого уравнения в натуральных числах, а только одно решение – то, для которого значения x и y минимальны. Для этой цели преобразуем уравнение, используя соображения делимости на 15:
откуда
Поскольку нам требуется наименьшее значение x, удовлетворяющее последней делимости, то x + 2 приравниваем к 15:
Ответ. 364.
130x + 160y = 3000, 13x + 16y = 300.
13x + 13y + 3y = 13 ∙ 23+1, 3y - 1 = 13 ∙ 23 - 13x - 13y
3y - 1 = 26, y = 9; 3y - 1 = 65, y = 22
16y = 16 ∙ 22 = 352 > 300.
13x + 16 ∙ 9 = 300, 13x = 156, x = 12.
28x = 15y + 4.
30x - 2x = 15y + 4, 30x - 15y = 4+2x,
(2x + 4) ⋮ 15, (x + 2) ⋮ 15.
x + 2 = 15, x = 13.
