Tilda Publishing

В теории многочленов с одной переменной и одночлены, и числа также считаются многочленами.
При этом часто говорят, что многочлен есть сумма одночленов, тем самым "разрешая" и суммы из одного слагаемого (например, ///////. ), и многочлены "без переменной" (например, -7 и 0).
При таком понимании многочленов с одной переменой после выполнения сложения и умножения любых многочленов всегда получится многочлен.
Многочлен с одной переменной x - это выражение вида


где n - любое натуральное число или ..., коэффициенты ///////////////////// - произвольные числа.
Часто также вместо f пишут f(x), если необходимо подчеркнуть, что в качестве переменной рассматривается именно x.
Обратим внимание на то, что номера коэффициентов - они называются индексами - начинаются с и идут в возрастающем порядке.
Если n= / то ... /////. , т.е. является числом. Если к тому же ............. то многочлен f имеет специальное название - нулевой многочлен.
Степенью многочлена с переменной x называется наибольший из показателей степени одночленов, входящих в его стандартный вид. Поэтому если .............. то многочлен

имеет степень n.
Степень многочлена f часто обозначается через degf.
Например,

Отметим тот случай когда многочлен является числом: f = a.
Рассмотрим два случая.
Если .............., то степень f считается равной ... .
Например, deg 7 = 0.
Поясним: считая, как обычно, что ............ мы можем записать //////// так что .. - наибольший из показателей степени одночленов, входящих в запись f.
Если a = ... считается, что f степени не имеет: нулевой многочлен не имеет степени.
Коэффициент при наибольшем показателе степени x многочлена называется старшим коэффициентом этого многочлена, а слагаемое, не содержащее x, - свободным членом многочлена.
Из правила перемножения двух многочленов следует, что старший коэффициент произведения двух ненулевых многочленов равен произведению их старших коэффициентов. Отсюда следует:

1. Произведение двух ненулевых многочленов является ненулевым многочленом.

2.Степень произведения двух ненулевых многочленов равна сумме степеней этих многочленов.

3.Свободный член произведения двух многочленов равен произведению их свободных членов.
Сложение и умножение многочленов обладают теми же свойствами, что и соответствующие арифметические операции над числами в множествах целых и рациональных чисел. Кроме того, сложение многочленов имеет обратную операцию - вычитание. Она определяется так же, как и во всех числовых множествах.

fg = ........ f = ... или g = ...

degfg=deg f + deg g (f, .......... ).

Tilda Publishing

В многочлен, как и в любое буквенное выражение, можно вместо переменной подставлять числа, и в результате он превращается в числовое выражение, т.е. в конечном счете в число. Если многочлен обозначен буквой f, а c - некоторое число, то значение f при x = c обозначается через f(c). Число f(c) часто называют также значением многочлена f в точке c.
Обратим внимание на тот случай, когда f - многочлен нулевой степени, т.е. f = a, где a - число, так что f в действительности не содержит переменной. В этом случае считают, естественно, что его значение при любом x равно a. Поэтому такие многочлены называются постоянными или константами. Нулевой многочлен также является константой: все его значения равны нулю.
Сделаем два важных для решения задач замечания:

1. Значение f(0) равно свободному члену многочлена.
2. Значение f(1) равно сумме коэффициентов многочлена.

Действительно, если

то

Для упрощения вычислений существует прием, называемый схемой Горнера.

Tilda Publishing

Схема Горнера (или метод Руффини-Горнера) - алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы одночленов, при заданном значении переменной. Метод назван в честь Уильяма Джорджа Горнера - британского математика, но Паоло Руффини - итальянский математик, опередил Горнера на 15 лет, а китайцам этот способ был известен еще в XIII веке.
Эта схема состоит в заполнении некоторой таблицы из двух строк.
Например, вычислим значение многочлена

при x = -1.

Tilda Publishing

Tilda Publishing

Tilda Publishing